قضیه نقطه ثابت باناخ

قضیه (باناخ، ۱۹۲۲):
فرض کنید \(X,d\) یک فضای متری کامل باشد، و $\backslash (T:X\; \backslash rightarrow\; X\backslash )$ یک نگاشت انقباضی باشد، یعنی: \[ \exists\, c \in (0, 1) \quad \text{such that for all } x, y \in X:\quad d(T(x), T(y)) \leq c \cdot d(x, y) \]آنگاه:

1. وجود: تابع \(T\) دارای نقطهٔ ثابت یکتا است، یعنی عنصری مانند\(x^* \in X\) وجود دارد که: \[x^*=T(x^*)\]

2. همگرایی: برای هر $\backslash (x\_0\; \backslash in\; X\backslash )$، دنبالهٔ بازگشتی: \[x_{n+1}=T(x_n)\]
   به $\backslash (x^*\backslash )$ همگرا می‌شود و داریم:\[\lim_{n \to \infty} x_n = x^*\]

3. نرخ همگرایی: برای همه \(n \neq 0\):\[ d(x_n, x^*) \le \frac{c^n}{1 - c} \cdot d(x_1, x_0) \]